KINEMA AIRLINES MUSEUM

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RedPoint

・ 揚力のはなし 瀬を早(はや)み ・ ・ ・
・ 誘導抗力のはなし 抵抗があることで美しい?
・ 続 誘導抗力のはなし 抵抗があることが美しい! NEW
・ 後退角のはなし 余弦定理 ・ ・ ・? 公開準備中


RedPoint

キネマ航空 ミュージアム 別館 - 展示準備中


・ 揚力のはなし


瀬を早(はや)み 岩にせかるる 滝川(たきがは)の
われても末(すゑ)に 逢はむとぞ思ふ     崇徳院 七十七番

日本人の心は三十一文字で恋の心理はもちろん
物理学をはじめとする森羅萬象、萬物齊同の真理をも言いあてている
ということは決してない ・ ・ ・ と思うけど?


conventional_explain揚力の説明に使われる図は大略左図のようなものになる。この図での説明の要旨は「上面がなだらかな曲線を描く翼型では上面を流れる空気の速度は下面のそれより速い」。

そしてベルヌーイの定理により「(非圧縮性、非粘性の流体においては)連続する流体では流体の密度とその速度の二乗の積の半分になる動圧と静圧の合計は常に一定となる」

したがい「流速の速い翼の上面の動圧が高くなり静圧が低くなって翼が浮き上がる」と。では何で上が早くなるのかの説明はない。多少とも文学を齧った先生なら崇徳院でごまかしたいところだろう。

理科の先生はそこのところを曖昧に話してなんとなく納得するのは実験で見せられるベンチュリー管を思い出させるものがあるからであろう。たしかに管の形状は翼の上面に似ていなくもない。


Flow 1しかしその説明では管の断面積の大小で説明していた。翼では管の上部はどこに? となるとなんとも苦しい。

とはいえ風洞実験の写真を見せられるとそんなものかと納得してしまう。ましてや飛行機から見ればそのとおりである。確かに相対的には同じではあるが動いているのは翼である。

そこでの説明は揚力が発生している状態の説明でしかない。揚力が発生するまでの説明がかけているのである。

まず翼を縦断する線上の空気の分子に着目してこの線を横切る翼が線上の分子に及ぼす影響を考える。

正確に言うとその分子は力を与えない限り動かない理想の分子である。これを脳内シミュレーションで行なおうという試みである。

注)科学的には「流れの可視化」技術に空気中では火花追跡法、水中では水素気泡法という手法がありこれと類似した画像が得られる。ちなみに風洞実験写真で見せられるのはスモークワイヤー法と呼び、これが誤解のもとになっている。


Flow 2実際の分子は何らかの法則にしたがって勝手気ままに動き回っている。でないと生物は自分の吐き出す空気で窒息してしまう。

左図は翼がわずかに動いた状態である。最大翼厚から前の空気は押し出され後ろに空いた空間には空気が流れこむ。前方の空気は翼から圧力をうけ大気圧に対し(+)の正圧、翼の後半の上面には(−)の負圧を生じている。

ベルヌーイの定理の前提である非圧縮性は現実ではありえない。

注目している線上にあった分子は前方では前上に押され、後方では下方から上に回り込もうとする。


Flow 3さらに翼が進むと後方から空気が回り込む。これはには空気の粘性が関与している。

粘性とは流体がもつ粘り気であり個体との間で特に顕著になり翼の表面にくっついた空気の分子の列は翼に引きずられて進みその分子に接した分子もわずかずつ遅れながら前に進む。

翼の後端ではその分子の列が負圧に吸い込まれ巻き上がる。

翼の前方では前上方向に押し出され圧縮され正圧になった空気が後方の負圧に向って流れ込む層ができる。


Flow 4圧縮され正圧になるのは押された空気を更に前方の空気の分子が持つ慣性のため押し止められるためである。

気体の圧力の伝播には音波と呼ばれる波とそれより遅い風と呼ばれる流れがある。この二つが揚力を作るのである。

さらに翼が進むと前から流れ込む空気と後ろから巻き込む空気が翼の後方に渦を形成する。


Voltexなぜ翼の後ろに渦ができ、翼の上面を高速で流れる空気の層ができるのか? これも粘性と慣性の働きである。

翼の前部が圧縮機となり空気を後部のモーターに送り込み翼の後方に渦を作りだす。その渦が翼の上面の空気を巻き取って高速の流れを作り出す。


工業製品として利用されるとジェット・ポンプと呼ばれ高圧で流体を噴出させると周囲の流体を吸い込んで加速させて高圧で噴出した流体より数倍の体積を吐出させることができる原理である。 近くはダイソン©のエアマルチプライヤー©の原理でもある。

できた渦は幸いなことに空気の粘性の限界でちぎれてしまう。でなければ翼を動かすエネルギーは渦を維持し増大することに使われて前に進むエネルギーはいくらあっても足らなくなる。かくして飛行機は飛ぶ。

いずれにせよ揚力は断続的に発生しており渦が切れた瞬間、瞬間では翼は揚力を失い飛行機は慣性で飛んでいることになる。

「怖いですねえ、恐ろしいですねえ」(懐かしき淀川長治先生!映画がメインの当ミュージアムですが先生のようにうまく語れません)

Kutta-Jukovski翼の上を高速の空気が流れていることはわかった。この物理学上の現象を数学的にベルヌーイの定理(Bernoulli's Low)と整合させたのがクッタ・ジューコフスキーの定理(Kutta-Joukowsky's Low)である。

翼の後方に生ずる渦と鏡面対象に回って流れる翼の周りを等速で流れる循環流を導入し翼の上面と下面に生じる空気の速度差を使って現在の揚力の計算式を確立した。

さてここまでの説明に使った翼はクラーク Y 型と呼ぶ翼の下面が直線の翼型である。しかし一般に使われる翼型は下面にも膨らみがある。この効果は前縁の下側でも翼の方の圧力をあげて上面から下方に逃げる流れを押しとどめて流速を維持して、同時に下面にも同様にある程度の流速のある流れの層をつくり翼の後方から巻き上がる流れを後方にずらせて渦の形成を翼の後端から離し、翼上面の流れを滑らかにする効果がある。

glid5

実際に翼の表面上に空気が流れて対気速度がある範囲は空気の粘性で翼の表面にまとわりついて引っ張られる空気の層と流速のない大気に引き戻される層の間にできる空気の流路でまとわりついている部分は境界層と呼ばれる。クラークY型の下面にも同様の流れがある。

揚力の説明に使われるベルヌーイの定理はこれまで述べてきた揚力の発生には圧縮性を伴うという説明と矛盾はするが圧縮を無視すれば物理上もしくは工学上の公式として正しい。

この式を飛行機に応用してみよう。翼は大気圧の中を移動しており両面の流れは大気圧からの圧力変化が始まる。大気圧を p0(kg/m2) 、流れの静圧を p (kg/m2)、空気の密度を ρ (kg/m3)、空気の平均流速を v (m/s) として上側を u 、下側を l とすると、

p0 = pu+½ ρvu2= pl+½ ρvl2

上下面の静圧の差 (N/m2) に翼の面積 S (m2) を掛けたものが揚力 (N ニュートン)となり機体の重量 W (kgw) と釣り合う。 g (m/s2) は質量系単位の力 N を工学系単位の重量W ( kgf または kgw) に換算する重力加速度であり W/g = N となる。

W=( pl-pu)S=½ (ρg){ ( vu2- vl2)} S

両辺をSで割ると

W/S =( pl-pu)= ½ (ρg)( vu2- vl2

この式を vu について解くと

vu= { 2/(ρg )(W/S)+ vl2)} 1/2

W/S は翼面荷重と定義されている。しかしこの式は速度の未知数が二つあり解くことはできない。

この式でわかることは下面の流速が上がれば上面流も速くならなければならないこと、翼面荷重や空気の密度の平方根に比例することである。

なぜこの上下の流れる層ができるのか?それは流体が本来持つ粘性のために生ずる境界層があるためである。


境界層

簡単に言うと機体や翼の表面に接している粘性のある流体である空気が機体に引っ張られて機体の速度と同じ速度から始まり、静止した大気になるまで空気の流れの速度が変化する層を指している。

翼はその層の上下にとくに上側に翼の速度より速い空気の流れを効率よく作る物体のことである。揚力を考える場合の境界層は動く翼と空気流、その空気流と静止した大気の間と二つがあると考えたほうが理解しやすい。

揚力に関係する空気流は二つの境界層に挟まれて流れており、流れる空気の流速は先の説明のように凸湾曲のある面では翼の前方は圧縮で加圧され後方は膨張で減圧された空間ができこの間に流れる空気の層の流速が速くなる。翼の揚力はこの湾曲の上下非対称から始まる。

粘性によって生ずる境界層は機体や翼の表面の摩擦抵抗となるが揚力が発生するためには必須である。翼の境界層が乱れて翼の表面から剥離するとストール(失速)に陥る。

失速は操縦桿を引きすぎて迎え角(AOA: Angle of Attack) が大きくなると発生すると説明されるが水平飛行中でも後方から機速より速い追い風を受ければ低速時に発生することがあります。台風の風速 40m/s は時速に直すと 124km/h となる。小型機の着陸速度と比べてみてください。

現実では飛行機の速度計は対気速度なので追い風でもマニュアルに書かれた速度を守っておれば安全です。しかし自然の風は常に一定速、一定方向で吹いているわけでもなく高度によっても前後左右でも変わります。突風は静止している(今現在と同じ条件が続く)はずの大気がそこでは動いているのです。

静止した大気のなかを200km/hで飛んでいる飛行機に124km/hの突風が追いつくことはできません。怖いのは124km/hで吹いている同じ進行方向の風のなかに200km/hで突っ込んだ場合です。翼は瞬間的に差し引き76km/hの揚力しか出せません。

これが「離陸、着陸は向かい風で」、の原則です。強風下の離着陸は管制官の判断もありますが最終的にはパイロットが責任を負うべきでしょう。しかし、昔であればケーブルやリンクを使った機械式の操舵装置で操縦桿に伝わった舵の感触の情報も今では間にサーボ装置が挟まれてパイロットが直接感じるのは機体の揺れや軋みのみとなりました。 (閑話休題)

P-51さて、機体に引っ張られて翼の周りを流れる空気流より相対的に速度が遅くなる境界層は厚さにして2.5cmから5cmぐらいと言われている。機体においても同じで機体内に空気を取り込む場合は取入れ口を境界層の外に出すほうが相対速度が大きくなり効率がいい。

F-16具体的な例ではノースアメリカンP-51 シリーズ (1940) -左写真- のラジエータの冷却空気導入口やゼネラル・ダイナミクスF-16 (1974) -右写真- のエンジン吸気ダクトなど胴体下の境界層の流れを左右に逃がす処理が前側面から写した写真でわかる。

そのつもりでエアダクトの開口部が胴体左右にあるジェット戦闘機の正面図を見ると吸気口と胴体の間に境界層の逃がし溝や翼面の穴があることに気づく。

またデ・ハビランド モスキート (1940) に装備した水冷エンジンの冷却空気導入口は内翼の前縁に開き、サーブ35 ドラケン (1955) のジェットエンジン吸気口はダブルデルタの内側三角翼の前縁にあり胴体との間には逃がし溝がある。いずれも境界層対策として効果がある。

三式戦闘機 飛燕境界層の厚さは機速に関係すると思えるがP-51F-16の逃がし空間の高さはあまり変わらないように見える。P-51のラジエータ配置に近い川崎三式戦闘機 飛燕 (1941) -左写真- は境界層の逃がし処理をしていない。考え方によっては壁が二重になるP-51 式より一重ですむ飛燕のほうが軽量化できているともいえる。見た目ではP-51の開口面積のほうが小さそうだ。

余談ながら航空機の三面図を見るのは楽しい。空気力学上の洗練は兵器に求められる実用性や生産性とは別ものではあるが、空力上の認識についての特徴が上面図にでてくる。三菱局地戦闘機 雷電 (1942) は胴体を延長して先端をすぼめて胴体中央で最大になる紡錘形にするなど外国にも似た例はあるがプロペラ後流はプロペラの直径より小さくなるという収縮流の認識はなかったようだ。

収縮流は翼にも起こっている。翼の側と大気の側の境界層に挟まれて高速で流れる空気は層と層の中心の静圧が低くなり境界層自体を引き寄せようとするが、翼 (機体) 側は粘性のため引き寄せられないので大気側の境界層を引き寄せるのである。結果二つの境界層に挟まれた空気流の通路は狭くなり流速も速くなって静圧がさらに小さくなり揚力となる。

このあたりの説明はニワトリが先か卵が先か、であって翼側の境界層が自分から持ち上がっていくと言えなくはない。揚力は翼の下から押し上げられるのか、それとも上が吸い上げられるのかの解釈のしかたである。

さてプロペラの収縮流に戻ると、雷電 とは逆に胴体を絞ったことで空気と機体表面との摩擦抵抗を抑えた中島二式戦闘機 鐘馗 (1940) の形状は偶然であったのか、先行するフォッケウルフ Fw-190A (1939) は承知して設計されたのか・・・兵器としての働きと形態に直接の関係はなかったようだが、どの機体も戦闘機マニアのお蔭で設計主務者の名前はよく知られている。いまさら答えを知る必要はないが航空史のなかの技術史、人物史としての興味は残る。
(  )内は初飛行年

航空機の外観図の比較には Plans 3-vues/ 3-view drawings をお勧めします。


さてベルヌーイの揚力の式では実用には適さない。そこでクッタやジューコフスキーが力学の基本法則から流体中の物体にはたらく力の解析を行なって実用的な揚力の式を完成させた。翼の周りめぐる空気の流れが実在することでベルヌーイの定理から揚力の公式を発展させたのではない。

ニュートンの第二法則である「運動量の伝達」の法則から「流体中の物体にかかる力」の式を誘導しようと考えていた二人は独立してそれぞれ同じ時期に力の働く場のなかに循環流の概念を導入したのである。

ニュートンの第二法則「運動量の伝達」を揚力に適用すると翼から空気に伝えられた力 K (N: kg m/s2) は空気に与えられた速度 w (m/s) と翼の周りを通過した空気の質量流量 q (kg/s) の積になることから式で表すと、

K = wq

しかしこの式を数学的に解くことは難しい。たとえば w にしても q にしても実際に測定することは不可能といっていい。たとえば地面近くを飛ぶ飛行機には翼の下面と地面に挟まれた空気の圧縮によって生じる揚力が増す地面効果とよぶ効果がある。実際には主翼の幅の半分と等しい高度あたりから利き始めるようだが幅が無限にある理論上の翼では影響する範囲も無限になり q を決めることはできない。

人間に必要な知識は物理学の真理ではなく工学の実用性にある。それが無次元の揚力係数 CL を導入した「揚力の公式」である。この式の誘導には複素数を使った微積分が用いられており、筆者の才ではうまく説明できない分野なので専門書に譲らせて頂くが結果は次のような周知の式になる。

L = ½ CLρV2 S

揚力 L の単位はkg・m/s2すなわち N である。

この式では測定できる翼の速度 V と翼の面積 S は (V ) と(ρSV) に分かれて存在する。(V: m/s ) は空気に与えられた速度 w 、(ρSV: kg/s ) は質量流量 q を置き換えたものであり、その他もろもろの物理現象を実験で測定した結果を揚力係数 CL( 単位 1 : 無次元) にまとめてベルヌーイの公式にある ½ を残して整理して未知数が一つの実用的な式にしたものであることを知っておくほうがよい。

したがい 「揚力の公式」 は次のように変形して、

L = CLkj ・ (V )・ (ρVS )

定数 (½) を含んだ CLkj を使い上記のように記述するのが物理的に正しいともいえるが、工学者も人間、見た目の美しさに囚われて真実を遠ざけて後世の航空機ファンを悩ませているようだ。なお添え字 (Lkj ) はクッタ・ジューコフスキーの揚力係数のつもりです。

さて先に考えたベルヌーイの揚力式を質量単位で整理すると

L = (W/g) = ( pl-pu) S = ½ ρ( vu2- vl2) S

同じ物理現象を扱うのであるから似た式になるのは理解できるであろう。両式をつなぐと

CL = ( vu2- vl2) / V2 となる。

ここで循環流速を vkj と仮定すると vu = V + vkj , vl = V - vkj となる。これを代入すると

CL = 4 vkj / V

揚力係数 CL は循環流速と機速の比に比例している。ただし実用する揚力係数は実験から理論式をつかって逆算することで確認されていることを忘れてはいけない。

揚力係数は粘性の影響を扱ったレイノルズ数をそろえれば機速 V に関係なく一定で迎え角に依存していることから循環流の速さ vkj を決めるのは翼型であることがわかる。言い換えれば機速が2倍になれば循環流速も2倍。2分の1 になれば 2分の1 になるのである。

そして翼の迎え角は循環流速を変化させると理解できる。迎え角を上げると翼の下面で翼の前方の圧力をあげて上面に流れ込む流速を増加させるのである。上下対称の湾曲を持つ対称翼にも揚力が発生する理由である。


と、ここまでもっともらしく書いてきたが翼の周りに循環流が実在し、目に見えるか見えないかについては定かではない。仮定することで物理数学上論理的な整合が取れると考えたほうがいいようだ。幾何学で言うところの補助線のようなものである。

循環流の説明は、まず翼の後方に渦ができる (これは実験で目視できる)。それにつづき、そして理論上からその渦の回転方向とは逆方向の回転の流れが存在しなければならない。したがい、翼の上にその流れがある。それが循環渦である、となる。

しかし現実はそうでもなさそうである。たとえば台風のごく中心部は強制渦だが周辺は自由渦である。一つの台風が逆向きの台風を随伴することはない。たしかに北半球と南半球では台風の回転方向は互いに逆ではある。

南北の両半球で同時に台風が発生することはほとんどないが、この時間差も地球規模で考えるとありえることとしても、回転方向が異なることは別の理屈で証明されている。渦は単独でも存在できるのである

循環流の存在については三次元翼の誘導抵抗の説明においても疑問が生じる。これは次の展示以降で検証したい。

さて、少なくとも現実は vu ≠ vl であるが翼の上下の流速は全翼長にわたって一定であることはない。ただ後ろにできる渦が翼の上下の空気を入れ替えていることは事実である。

したがいこの渦のエネルギーに相当する空気のエネルギーを翼が与えていることはエネルギー保存則からも間違いない。それを循環流と呼ぶのであろう。

循環流速を導入した揚力係数を代入した揚力の式は、

L = 2( vkj) ・(ρV S) = ½ CL(V) ・(ρV S)

となって循環流速の ( vkj) あるいは機速 (V) がニュトンの第二法則でいう翼が空気に与える流速や質量流量の一部にほかならない。係数である 2 もしくは ½ CLは括弧内のいずれかもしくは両方に分配される無次元数となる。

あまり式をこねくり回しても仕方がないが循環流があるとして翼の速さ V と上下の空気流速のイメージを探っておこう。

大体の翼型で揚力係数が直線を示す上限は迎え角が12°あたりであり設計基準点は半分の6°となる。このときの揚力係数 CL は0.6程度となる。したがい、平均してみれば次のような上下の速度差が必要になる。

 vu = 1.15V  vl =0.85V

上面のvu が速くなるのは後方の渦が吸い込むためと理解したとしてvl が遅くなるのはなぜか?

仮に前方から下面に流れ込む空気流がない場合は翼が粘性で引っ張っていく境界層の空気がその流速となり大雑把には機速Vの半分が平均流速になることから理解できると思う。

くどいようですが空気が前から流れてくるのではなく翼が粘性で空気を引っ張っているのです。

循環流とは上下で作る渦の強さの差であって空気の分子が翼の周りを回っているのではないと考えていいようだ。

零戦の主翼後縁にあるスプリットフラップは下面の流れを妨げて下面の流速を落とし同時に下面の静圧を上げて上面の流速ひいては揚力を増やす装置と考えればいい。

上面流速は翼の速度に比例する。フラップが使われる速度域は極低速であり上面流速も小さくなっている。しかし空気の性質である粘性は速度によってほとんど変わらない。速度が下がれば境界層を維持できなくなり剥離を起こし上面流は向うべき後方の渦を失う。ストール(失速)である。

747 などに見られる湾曲の強いすだれのようなスロッテッドフラップは隙間から下面の高圧で高速の空気を上面に流しそのエネルギーで境界層の剥離を抑え、翼弦長をのばし粘性によるコアンダ効果が保てる限界まで上面流を引っ張って加速する効果がある。もちろん圧力を揚力に換える翼面積も増加する。

前縁フラップは下面の圧力で前方の空気をより速やかにより多く上面の流れに加える装置であり、さらにスラットと呼ばれる下面の圧力で空気を上面に送り上面の空気流を加速させ境界層の剥離を抑えるメカニズムを兼用することも多い。余談だが後退角のある 747 の主翼に設けられた前・後縁のフラップはそれぞれの位置の断面で異なった形式を組み合わせている。

さてこうなると下面の空気も上面を流れているといえる。もっともこれは「揚力の式」にかかわる循環流とは異なり、得られた効果は揚力係数の中に入ると考えられる。

もちろんニュートンの第二法則から詳細に数式として解くことはできるのだろうが実用という面ではその努力は無意味であろう。現在はコンピュータにより翼の周囲の「流れ」はもちろん、翼のあらゆる部分の「圧力」を数値解析して揚力の分布を把握して設計している。そこでは循環流は必要ないと考えられる。

さてコンピュータが優れているかといえばそうでもない。これからの話はいちいちデータをインプットしなければ答えが出てこない。数式を見て直感するほうが速い場合もある。

飛行機の挙動を知るにはベルヌーイの揚力のほうが分かりやすい。

飛行機が水平に一定速で飛ぶために必要な翼の上下面を流れる空気層の流速 vu,l は翼面荷重 W/Sの関数なのである。そして影響するのは温度や高度で変わる空気の密度であることがわかる。

空気密度は高度が上がるほど薄く小さくなり大きな上面流が必要になる。すなわち水平飛行中の747 は高度を上げるにしたがって迎え角か機速(正確には対気速度)を増やしていかなければならない。

飛行を続け燃料を消費して軽くなると翼面荷重は低くなり同じ姿勢で飛ぶ機体は上昇する。指定飛行高度を守るために飛行姿勢をかえて、具体的には迎え角を小さくして vu,l を小さくする。このとき機速 V を下げることで vu,l を下げなくてよい。むしろ燃料消費を抑えて機速を上げることも可能になる。

ラインパイロットの仕事の基本は燃料消費が最小になるようフューエル・フロー・ポンプとトリム・ダブで対気速度と機体の姿勢を制御するコンピューターを監視して目的空港への到着時間を許容範囲に収めることである。

映画の中で747が機首を上げ気味に水平飛行をしておれば離陸上昇が終わり指定された高度の水平飛行に移ったばかりと思っていい。

飛行機が着陸をするためには機速を下げる必要がある。このために失う vu,l を維持するために迎え角を上げ、加えて前後のフラップを出して翼面積を増加し翼型を変える。

機速 V が低下した場合には、迎え角を増し、フラップを出すことで面積を拡げ、湾曲を増加させた翼の下面に押された圧力で翼前方の圧力を確保もしくは増強して流速を上げる。翼の上面の湾曲に添う境界層は速度を上げた空気の粘性によるコアンダ効果が崩れるまで揚力を保持してくれる。

そして翼の下面には抗力が生じている。この抗力の分力も翼を押し上げる方向に働いている。迎え角と変形した翼型により増加する揚力の一部は抗力なのである。

この抗力を積極的に揚力に変えるには相応の推進力で釣り合わせる必要がある。外洋の波高4mの波頭と波頭の間の距離を使って離着水が可能な新明和 PS-1US-1US-2 飛行艇 で使われる5番目のエンジンとコンプレッサーで作った圧縮空気をフラップの上面に噴出させて境界層制御(BLC: Boundary Layer Control)を行ない、パワーレバーを押してプロペラ後流を増速、増量することで極低速度で水平に飛ぶ、(「パワーで吊る」と称される抵抗曲線の後ろ側の)バックサイドと呼ぶ領域である。(抵抗曲線は次の「誘導抗力のはなし」を参照)

航空の黎明期にライト兄弟から飛行機の形態が特許に抵触すると執拗に抗議を受けたグレン・カーチスは業を煮やして「丸いテーブルもエンジンを付ければ飛ぶさ」と嘯いたそうだ。事実、凧は糸に引っ張られて空気の抵抗で空中に浮かんでいる。

glid5

ふたたび最後の説明図にもどればNACA 2000系の翼型が迎え角を持って飛ぶ状態の模式図である。揚力の元となる渦は翼から離れたあと、直径を広げながら雲散霧消して大気に戻る。しかしこの描きかたでは揚力が増加したと感じられる地面効果など上下方向に及ぶ圧力の影響はそれらしく表現できない。

ただ揚力をつくる空気が流れる層を保つ管または堤防に相当する(機体側の境界層に比べると非常に厚い)大気側の境界層がありこの層の圧力がいきなり大気圧になることはない。翼はその部分まで影響を及ぼし、またそこから影響を受けている。

圧力は減衰がない限り音速で無限に広がるが実際には粘性による減衰をして翼による分子の動きの及ぶ範囲にも限界がある。その限界が実機の場合に地面効果が現れる主翼幅の半分程度の高度となるようだ。クッタとジューコフスキーの考えた範囲はこのあたりにまで及んでいるのであろう。

ベルヌーイの式による揚力は薄い空気層内の流れでも成立するがクッタ・ジューコフスキーの揚力は力の及ぶ場、すなわち大気を考慮した式であるという違いがある。

最後の模式図を完成させるには簾(すだれ)ではなく格子(こうし)を横切る翼をイメージすればよい。これは皆さんへの宿題としましょう。ぜひ完成させてください。

いずれにしても揚力は、

 『静止した空気の中を』 - ここがポイント、
 『翼が動いて前方に断熱圧縮された正圧の空気が』、
 『翼の移動で断熱膨張した後方の負圧の空間に流れる』、
 『この空気流が通ることで翼と大気の両方に境界層が生じている』、
 『翼が継続して動くことで翼の後ろに空気の粘性と慣性による渦が発生して』、
 『翼の両面に沿って流れる高速の空気流ができて』
 『翼の上下に生じた静圧の差を翼が受けて揚力となる』
 『翼は渦がちぎれていくことで継続して揚力を生みだす』

のである。

揚力は飛行機のスピードで前から流れてくる空気を翼が受けることで発生するという前提での「揚力の公式」から揚力そのものを理解したつもりでいては、つまらないと思いませんか?

正しくは静止している大気の中を翼が動いて圧縮性に加えて粘性と慣性をもった空気が流れるのです。

ただ、揚力の説明に努々(ゆめゆめ)崇徳院を例えに持ち出されぬよう。翼に裂かれた分子の恋人は、激しい流れに身を任せてすれ違いの渦の中に巻き込まれます。が、映画のようにふたたび出会えることはまずないでしょう。

その事実を知るが故の崇徳院(保元の乱で破れ讃岐に流されて同地で崩御)の想いこそが恋の真理のように思えてきます。

・ ・ ・ えっ?! あなたたちは翼の先端に粘性でくっついてでも ロンドン、パリ、ニューヨーク、どこどこまでも一緒ですって?

・ ・ ・ まぁ、恋の心理ではありましょうが。

謝辞
本稿はシネマ航空CEOが敬愛するサイトであります WetWing.com のホームページから入る コンテンツ 「新しい航空学」 に触発されました。

お礼申し上げますと同時に当キネマ航空のご愛用者に素晴らしいサイトをご紹介できるのは光栄であります。
当航空のCEOを兼ねます筆者はなかでも CHALK'S INTERNATIONAL に思い入れのあるルポが大好きです。


追記

ここで考えたのは無限幅翼の揚力なので現実には面積も無限大となります。したがい揚力 L、面積 S は翼の一部を切り取った極微小幅の翼すなわち二次元翼として微小を示す Δ が必要です。同様に重量 W もその二次元翼が支える分担荷重のために Δ が必要です。したがい揚力の式はつぎのようになります。

ΔL = ½ CLρV2ΔS (= ΔW/g)

実際の翼は有限幅なので三次元翼と呼びます。この区別は揚力を実用化する場合に避けられない誘導抵抗を考えるときに必要になります。




参考にしたサイト 追記 2011.01.14

・ 飛行機はなぜ空を飛ぶのか - 「ベルヌーイの定理」説に挑む
・ 飛行機が飛ぶわけ - 「ベルヌーイの定理」説をめぐる論争を解く (1)
・ 飛行機が飛ぶわけ - 「ベルヌーイの定理」説をめぐる論争を解く (2)

第一は WetWing.comコンテンツ 「新しい航空学」 の出典であるフェルミ研究所の物理学者デービット・アンダーソン氏とワシントン大学の航空力学の専門家スコットエバーハート氏の共著"UNDERSTANDING FLIGHT" のインタビュー記事の翻訳。あと二つは東京大学教授の鈴木真二(すずき しんじ)教授が解説したもの。

鈴木教授は「航空情報」2002年9月よりさらに詳しく連載されているようだが未読。

当博物館の展示も鈴木教授が読めば一蹴されそうですが目新しいところは空気は静止し翼が動き圧縮と膨張による流れがあり粘性による境界層は機体側だけではなく大気の側にもあるというところです。

ただし定性的な説明のみで定量的には次の「誘導抗力について」をふくめニュートン、ベルヌーイ、クッタ・ジューコフスキーさらにはレイノルズの理論が必要です。いつか鈴木教授のお話が伺えたらいいな、と思っています。


参考文献

・ 流れのファンタジー 流れの可視化学会編 1986 平凡社
・ 流れの可視化入門 可視化情報学会編 1996 朝倉書店
・ 可視化技術の手ほどき 可視化情報学会編 1998 朝倉書店

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・ 誘導抗力のはなし


揚力を使うには翼の幅は有限でなければならない
困ったことに揚力を生み出す静圧は翼の上が低く下が高い

突然断ち切られた翼端でこの圧力差がどうなるかの問題である
一般に目で見える「翼端渦」と呼ばれるのだが翼は幾種類の渦を持っているのだろう

いろんな名前の渦があるが物理的には「自然渦」と「強制渦」の二つである


Airplane Voltex NASA StudyAirplane Voltex NASA Study
NASAが撮影したWikipediaなどでよく知られた写真である。
左-写真1
右-写真2


左側の写真では実験の様子がよくわかる。ほぼ翼幅の位置に赤いスモークを立ち上らせて、その中央を低空で飛びぬけた状態である。右はその数秒後でウィングチップ・ボルテックス(Wingtip Voltex: 翼端渦)を見事に写し出している。これが誘導抗力の元凶といわれている渦となる。飛びぬけた飛行機はいわゆるAg-PlaneAgricultural Plane: 農業機)の Ayres Thrush シリーズのひとつではなかろうか。

連続写真は版権のある SCIENCEphotLIBRARY のサイトにある。風は左から右へ吹いており左側の煙は右側にたなびき上部は始めから平らだったようである。

この渦を調べる前に「揚力のはなし」で無限幅(二次元)翼で揚力が発生するには渦による巻き取りが必須でありこの渦はちぎれてては再生されていくが翼の周りをこの渦と逆周りに回る循環流(渦)という分子の流れは実在しないと説明した。voltexes

では有限幅の三次元翼ではどうなるのかから始めよう。機種の判別はできないが農業機が森林に薬剤を散布しているところで空気の流れがはっきりと見える。(写真3)

翼端渦は直径を増しながらかなり後方で接している。それより後ろでは径が大きくなっていない。

両端の渦の間に噴霧した薬液?が見える。翼の上の流れそのものではないが翼の下の流れが想像できる。(薬液?: 「北北西に針路を取れ“NORTH BY NORTH WEST” (1959)」では粉末でした)

翼の上下を流れた空気は翼端に近い方から翼端渦に合流し中央(胴体)付近は翼単渦が接近するところまで続いている。

大型機の場合を AIRLINES.NET に投稿されている閲覧は自由だが利用には制限がある写真にリンクしておきます。

Stefan Goegebuer氏の作品
Boeing-747-273C (写真4)

Steve Morris氏の作品
Boeing-777-236-ER (写真5) 、 Boeing-767-304-ER (写真6) 、 Boeing-747-443 (写真7) 、 Boeing-757-2B7 (写真8)
特に最後の写真では翼端ではなくフラップの端から渦を生じており、渦が揚力に関係していることがよくわかる。また特に左の渦は直径を激変させている。フラップの角度が変わったのか、空気の状態の差なのか分からないが微妙な条件で可視化がおこる。


ここで 「揚力のはなし」 に戻って無限幅の翼(二次元翼)に揚力が発生した場合、翼の上下にできる渦の強さの差が揚力であり、その渦は空気の粘性で翼につながっておれなくなると切り離しながら次々に渦を作っては切り離していく。

では有限幅の翼(三次元翼)の場合の教科書的な回答は次のようになる。

左へ進む翼があると翼の周りに右回りの循環流)が生じその渦と逆方向の左回りの渦を切り離す。これを出発渦と呼ぶ。

さらに進むと循環渦は翼端から離れて翼端渦流となる。進行方向に向って(後ろから見て)左の渦は右回り、右の渦は左回りとなる。

この渦はそれぞれ出発渦の左右に同じ回転方向でつながり自由渦と呼ばれる。循環渦は翼の周りに常に存在しているため拘束渦と呼ぶ。

で着陸すると到着渦ができて・・・とは書いていない。循環渦は揚力ができると生じるので羽田を発った飛行機がニューヨークに降りると循環渦が消えて壮大なU字の渦のつながりができ、飛行中はO字のリング状の渦のリング(数珠?)を作りながら・・・。

どうやら二次元翼では循環渦が断続的に切り離されて(後端渦)になるようだが、三次元翼では出発渦を残して翼端渦に連続して巻き取られていくために揚力が途切れることはなさそうである。

http://www.adl.gatech.edu/classes/unstaero/basics/AE6030C1.html 左の(写真9) ジョージア工科大学のポテンシャル流の講義録からです。数ある翼端渦の説明のなかではこの図がいちばん実際に則していると思わます。

とくに翼下面の流れを Inboard voltex sheet と定義しているところに注目してください。

「よかったですねー、よかったですねー これで安心して飛行機に乗れますねー(By 淀川長治先生)」でも、淀川先生。これが本当かどうかを検討してみようというのがこの展示の試みです。


その前に先に出た「自由渦」の対義語に「強制渦」がある。この意味は理解しておく必要がある。

強制渦」とは渦の中心の速度が0で渦の半径に比例して速度が増加している場合になる。例を挙げれば大きな盥(たらい)に水を張って手でも何でもつかって勢いがついたところで攪拌をやめて水から上げて安定した状態をいう。

現象として、水に浮く前後のはっきりしたもの(たとえば、マッチ棒、爪楊枝、羽毛など)の一方を中心に向けて水に浮かべればどの位置でも常に中心に向った状態で渦に乗っている。

自由渦」では中心の速度がいちばん速く渦の半径に反比例して速度が遅くなる。先ほどの盥の底の中心に孔を明けて水をため、安定したところで孔を解放すると自然に渦ができる。これが「自由渦」である。

このとき盥を磁石に見立てて先ほどの浮子を北に向けて浮かべると渦のどの場所でも浮子は北を指し続ける。もちろん浮かべたときの方向を維持するという意味である。

自由渦」の代表例は台風やトルネードであるが厳密には中央の狭い範囲は「強制渦」である。「強制渦」も「自由渦」も誘引するものがなくなればやがて消えていく。


この見方で翼端渦の写真を分析してみよう。

写真-2 左右の渦が外接し始めている。写真-3 では森の際のあたりを見ていることになる。

写真-3 でその後方を見ると渦の径はほとんど変わっていない。渦の中心に向って徐々に消滅をしていると考えられる。

注目するのは写真-3の右側の渦の上面にある渦の端の水平部分は連続写真でみると最初から存在しており外周部は自由渦と推定できる。

ではこの自由渦はどこまで続くのかは写真-4 写真-5 が参考になる。両翼端の渦の中心を翼幅とすると横方向には翼幅の2倍、下方向には翼幅、上方向には翼幅の 4 分の 1 、いや見えないだけで上下対称で翼幅の2倍はある?

このあたりはいくら厳密に分析してもあまり意味はない。ただ左右の渦が翼の中央(軌跡上の)で接触するとそれ以上は拡張できないため下に広がるので上下が非対称になることは間違いない。

目的は三次元翼の周囲を流れる空気の流量質量を算出したいのである。写真から推測すると進行方向に向っては円で置き換えても長方形としても翼幅 b の二乗に比例している。

いや今の推論は翼のはるか後方で起こっており翼の上下ではないのではないかとの疑問はもっともであるが、少なくとも両翼端の渦が接するあたりまでは強制渦の影響下にあり翼の上下で作り出した空気の運動量が形を変えて直接つながっていることは間違いない。


ニュートンの第二法則「運動量伝達の法則」を復習すると、翼が空気に与えた下向きの速度 w (m/s) と翼が影響を与えた空気の流量質量 q (kg/s) の積が翼を空中に浮かせる力 K (N または kgm/s2) となる。

K = wq

空気の質量流量は面積と翼の速度との積なので
q = ρV (Xb2)
V : 翼の速度 (m/s)、 ρ : 空気密度 (kg/m3 、b : 翼幅 (m) X は q の実態に合わせる無次元の係数。

したがい
K = wρV (Xb2)

K は揚力にほかならず機体の重量W (kgf) を支えており重力加速度 g (m/s2) をつかって質量系単位になおすと
K = W/g

したがい翼が空気に与えた下向きの速度(吹き降ろし速度)は
w = K / ρV (Xb2) = (W/g) / {ρV (Xb2) }

この重さ W の機体を浮かせる仕事率 P (kg m2/s3 ) は力と速度 w の積なので
P = (W/g) w = (W/g)2 / {ρV (Xb2) }

この仕事率が供給され続けて水平に飛行できる。この空気に与える仕事率は機体が速度 V で飛ぶことでえられる。

この仕事率 P は同時に翼にかかる抗力 D (N または kg m/s2) と翼の速度 V の積でもあるので機体を浮かせる仕事率 P と速度 V の比は 機体 W を持ち上げるために必要な空気の抗力 D i に他ならない。
Di = P/V = (W/g)2 / {ρV2 (Xb2) }

念のため前面投影面積の関数で扱う形状抵抗は含んでいません。後述するように航空機の性能を計算する場合には形状抵抗を別途加算します。

翼幅が有限の三次元翼で避けることのできない誘導抵抗は機体が重い (W) ほど、速度 (V) が遅い時ほど、そして翼幅 (b) が短いほど各々の二乗で大きくなる。

すなわち最大の積載量で燃料を満載し離陸しているときに最大の誘導抗力が生じている。

誘導抗力は翼が揚力を出すために必要な力なので避け切れない抵抗であるが翼が有限の三次元翼であることで生じる抵抗も含まれている。すなわち無限幅翼(二次元翼)のように翼の後方で断続した後端渦すなわち自由渦になってちぎれていくことができない状態で生じている

真の誘導抵抗は揚力を発生させる圧力差が翼端から連続した強制渦となって揚力を減じエンジンや重力滑空で得られた仕事率を吸い取りながら周辺の空気を巻き込む自由渦となって静止した大気に戻っていく過程でである。


この式の根拠となったのは翼端から生ずる強制渦とそれによって発生する自由渦の直径を推測するところから始まっている。この渦に巻き込まれた鳥や小型機はたまったものではない。

では人間が巻き込まれたら?こちらは合成映像ではありますが当 キネマエアラインズ の ATCツアー にあります 「狂っちゃいないぜ」 で見ることができます。

翼端渦は通常では見ることはできません。揚力の実用化にはなくてはならない現象ですが揚力を利用したあとは 後方乱気流 (Wake turbulence) と呼び名が変わります。これは重い機体ほど大きくなることでお分かりでしょう。

空港周辺では航空管制官が “Key Low Alpha (Kinema air) 001 Heavy, You are cleared to land, Runway ・・・”とよびかけ周囲の機に大型機が飛行していることを知らせています。厳密にはジェットエンジンの排気 (Jet blast) なども後方乱気流 に含まれます。

わるいことばかりではなく大型の渡り鳥が雁行、 V 字型に飛ぶ理由にもなっています。

翼端渦の外側には上昇気流がありこれに乗れば仕事率を減らす、すなわち燃料に相当する脂肪の消費と疲労を抑えることができます。

後続の鳥たちは先頭の鳥の左右の後方に広がり、少しずつ上になりながら V 字を形成しています。この角度が翼端渦の広がっていく角度となるのでしょう。

鳥たちはリーダーが常に先頭を飛ぶのではなく交替しながら海を渡って行くそうです。

本題に戻ると翼が影響を与える流量質量 q (kg/s) を極限までに増やすことで誘導抵抗は低減できる。

すなわち設計者が機体の最大重量 W 、設計速度 V そして翼幅 b が決まったあと b2 の係数として設けた X を大きくするいろいろな方法を考え出してきた事例を展示とする予定でしたが少し脇道にはいります。

「揚力について」の二次元翼で必須の後端渦は三次元翼でも存在するか?

・ 翼幅 b を延ばすことは二次元(無限幅)翼に近づけていくことで、誘導抵抗の式でも二乗で利いてくる
  したがい翼端渦の直径も小さくなることで後端渦が生じる区間があってもおかしくはない
・ 翼端渦はニ次元翼の後端渦に相当するもので渦の直径が翼幅の半分に達するまで強制渦として存在する

この仮説を両立できる材料はない。むしろ 写真4 、 写真5 では翼端渦の消えるあたりの底辺は緩やかながら円弧でつながっている。後端渦があれば直線であってもいいはずである。

ただこれらは離陸後もしくは着陸前の低速度で飛んでいる誘導抗力の大きいときの映像であるので後端渦を完全に否定はできない。

http://rc-sailplane.com/technote/Martin_Simoms/vortex_sheet/Vortex-sheet.jpg左図(写真10)は理論解析を分かりやすく示している。

翼の後方で翼の上面を通った流れ(Downwash)と下面の流れ(Upwash)は翼の中心で左右で分かれてそれぞれ翼端渦に巻き取られる。翼端渦の中心は実際の翼端より内側に形成される。

翼の幾何学的翼幅と渦の中心で測った実効翼幅の間に Voltex Sheet と呼ぶ流れが構成されている。

しかし、右の図(写真11)では下面の流れには翼端渦に巻き取られない中央部分の流れもあるようだ。

http://www.desktop.aero/appliedaero/potential3d/wingmodels.htmlこの実験がどのように行なわれたかは定かではないが、はるか後方では翼端渦に巻き取られるにしても理論どおりではなさそうである。

翼端渦においても理論で説明するために無視(実際に困ることではないが)して切り捨てている観察結果も多いと思われる。

長い翼の性能が無限幅翼(二次元翼)に近づくのは後端渦で生じる揚力の部分が増えるからと考えていいように思える。

後端渦の解釈には小さな曲率、言い換えれば極端に大きい半径の強制渦が翼の後ろで空気の層を巻き取っており、渦として目に見えるとすればその最後端の(いわゆる煙を使って可視化した空気砲の風圧弾道の周囲に見える渦)になってからであろう。

夢想の世界では長大な翼のグライダーが高速で滑空したり大型の水鳥が水面を薙ぐときには後端渦を生じていてほしい。
しかしここからはアニメーションやCG作家がアスペクト比の大きい翼を描くとき 写真9 や 写真11 の左右の渦の境目をどう表現するかの世界でもあります。

「いやぁ、映画って本当に素晴らしいもんですね〜」 これは水野晴郎先生!キネマエアをご利用下さりありがとうございます。


誘導抗力と揚力そして形状抵抗

先ほどの誘導抗力の式は通常ではアスペクト・レシオ(比) A を使って説明されることが多い。次式のS は翼面積 (m2)です。

A = b2 / S

アスペクト比が大きいことは翼の面積の割りは翼が長い。言い換えれば細長い翼である。無次元数のため実際の大きさとは関係なく数値が同じであれば同じ性能なり現象を示す。ただし空気の粘度は同じなのでレイノルズ数をそろえることが前提になる。

さて誘導抗力の式を誘導するときに揚力と機体重量の概念を用いた。この関係は「揚力のはなし」のなかで循環(渦)から揚力係数 CL をつかった揚力の公式で説明できることを示した。

しかしこれは二次元翼の場合であり翼の形は先細翼、円形翼、楕円翼など翼弦長が変わったり翼端失速を遅らせるため翼端で迎え角を小さくする捻り下げなどで風洞実験で求めた二次元翼の揚力係数 CL をそのまま使うことはできない。

ここでは翼の面積と速度から逆算した平均揚力係数 CL を使うことになる。

L = (W/g) = ½ CLρV2 S

誘導抗力の式に揚力計算式から (W/g) を代入し、それにアスペクト比を使って b2を消去すると
Di = ½ { CL2 / (2AX) } ρ V2S

ここで {   } 内は無次元数であるので誘導抗力係数 (Indused Drag Coefficient) CDiとすると
Di = ½ CDi ρ V2S    CDi = CL2 / (2AX)

教科書では誘導抗力係数は次のように示されています。
CDi = CL2 / (πAe)

e は翼形状による係数で循環流を扱う場合にもっとも解きやすい形状の楕円翼を e = 1 として翼形状により変わり小型機で使われる翼端が直線の台形翼では e = 0.8 乃至 0.9 程度になるようです。

ここで二つの誘導抗力係数から仮説の係数である X を解くと X = πe/ 2 となり、翼が影響を及ぼす質量流量は
q = ρV (πeb2 / 2)

この流量質量が翼の下側のみで翼を押し上げていると錯覚してはいけない。翼は揚力の項で述べたように翼の上の空気にも影響を与えている。

X はいろんな解釈ができるがごく大雑把にいえば楕円翼では翼幅 b の 1.25倍すなわち 1.25b を一辺とする正方形の範囲の空気に直接の影響を与えていると考えていい。

すなわち飛行機はこの正方形の中央あたりを飛んでおり、Kinema Air 001 便が着陸のクリアランスにしたがって降下してくると翼幅の半分あたりの高度から地面効果Ground effect) と呼ばれる揚力の増加が利いてくる理由になると考えられる。まさしく地面が翼から周波数 0 ヘルツの音速波で伝わる圧力を押し返しているのである。

また、翼幅 b の半分すなわち ½b を直径とする円の面積の 2倍でもある。これは左右の翼端から円錐状に伸び偶然に可視化される渦の直径ともほぼ一致する。


先に掲げた数枚の写真は翼の上の正方形からあとにつづく二つの円に変わる、すなわち誘導抗力から後方乱気流という名前に変わる過程を美しく写し取っている。

渦の直径の判定は強引ではあるが長焦点距離のレンズで撮影されており前後の距離感は圧縮されて誤差はそれほど大きくはないと考えていい。

ここでは英語の photo+graph でいう光の絵ではなく日本語の写真 picture+real が生きている。しかしCG流行りの今では画像の真偽の確認から始めなければならないのかもしれない。 (閑話休題)

さて、誘導抗力で重要なことは教科書で示される次の式、
Di = ½ CDi ρ V2 S    CDi = CL2 / (πAe)

この式を形状抵抗と呼ばれる前面投影面積 AF ( m2 ) に比例する抵抗の式と混同しないことが大切です。

機体などの形状抵抗は一般には、本来正面から見た AF であるべき面積を翼の面積 S に置き換えているため抵抗係数を CD に換算して、次式で表しています。
D = ½ CD ρ V2 S

すなわち飛行機全体の抗力 DTotal を次のように考えるのは間違いです。
DTotal = D + Di = ½ { CD + CL2 / (πAe ) } ρ V2 S

一般に公式は美しく見せる傾向がありそれが自然の真理であり分かったつもりになります。しかし本来の式の示すところに返ると、
DTotal = ½ CD ρ V2 S + (W/g)2 / {ρV2 (π e b2/2 ) }

これが正しい。
飛行機や鳥が受ける抗力は速度 V の二乗に比例する部分と二乗に反比例する部分があることが分かります。

これをグラフに映すと縦軸に抗力、横軸を速度とした座標になる。そして二つの抵抗が等しくなる速度を極小点とした U 字型の抵抗曲線を描きます。

縦軸の抗力は推進力と同じ単位である。抗力と推進力が釣り合って一定の高度を一定のスピードで飛ぶことができる。推進力と抗力の差で機体を加速(または上昇)あるいは減速(または下降)をさせることができる。

これが分かればエンジンや筋肉などの出力と組み合わせて縦や横に線を引いて交差させたり原点を通る直線が 抵抗曲線に接する点を求めたりすることで離陸速度、上昇率、巡航速度、経済速度、最高速度など飛行機や鳥の飛行性能を推測することもできる。

飛行機や鳥は飛び立った直後や着陸の直前の低速時に巡航状態よりはるかに大きな抵抗を受けていることを努々(ゆめゆめ)お忘れなく。これが飛行機が限界の条件で飛行しているラスト、ファーストの数分間の飛行状態であります。

エンジンの出力は最高速のためにだけあるのではないのですね(写真8 )。飛行機が好きで小さいとはいえ航空会社のCEOでありながら、いまだにこの時間は好きになれない。



「続 誘導抗力について」 につづく

誘導抗力は誘導抵抗とも命名されているが、これまでの説明のように有害な抵抗ではなく揚力を得るに必要な力のことでゼロにはできないし、ゼロなれば揚力も得られない。

誘導抗力係数の分母にある π は楕円翼で単純化された円周積分の結果の理論式であることを示しており実態そのものではなく地面効果などの現象で妥当性を認められる値と考えていい。

しかしここでも疑問は残る。揚力に引きずられて翼端に発生するとする誘導抗力が翼の上に作用する存在としておこなった証明ではない。むしろ強引に既存の誘導抗力係数とニュートンの第二力学で導いた係数を結びつけた可能性がある。

循環流より求めた誘導抗力係数自体が幾何学で言う方法線としての存在は認めても具体的な循環流など存在しないとする側面からみるとはじめからある範囲を決めて循環流にあうように誘導されたものとも考えられる。

とすれば素人にも想像力を働かせる余地がある。

揚力についての本質はニュートン(1642)の物理学が包括しているが流体に対しては具体的な解を作れない。そこでベルヌーイ(1700)、ナビエ(1785)-ストークス(1819)、レイノルズ(1842)、クッタ(1867)-ジューコフスキー(1847)、プラントル(1872) などの物理学者が連綿と200年以上をかけて、それぞれの分野で現象を数式化して揚力を物理学から工学にした。
( ) 内は生年

揚力をこの中の一人の理論で代表することはできないし全員の説明を併せても全てが説明できているともいえない。

工学は物理学で誘導された観察にほぼ合う数式を使って実験で補正して具体的なモノを作ることにある。モノを創る中に美学が宿る。次回はそのお話。



参考文献

飛ぶ 飯田誠一 1994 オーム社
鳥と飛行機 どこがちがうか H.テネケス 1999 草思社

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・ 続 誘導抗力のはなし


正編の説明で矛盾した個所があるのにお気づきになりましたか?

ニュートンの第二法則を使って「揚力を作るために必要な力」と定義して誘導抗力を
導入するのが正しいならば二次元翼に生ずる抗力も立派な誘導抗力となりこの中に含まれることになります

しかし、性能計算においては揚抗線図に表れた抗力を誘導抗力とは別の抵抗としています
翼の性能を示す揚抗線図に示される抗力係数は形状抗力として扱われます

どうやら質量流量を求める仮説として計算を始めた係数 X と
プラントルの導いた誘導抵抗係数の値を結びつけたことで矛盾が生じたようです。

このあたりをもう少し考えてみましょう。


発端から数式の展開で恐縮ですが二次元翼の誘導抗力の考察から始めましょう。ただし物理的な原理の解析ではなく先人が達成した数式を使って疑問を解いていきます。

・ 二次元翼に誘導抵抗はあるか?

まず翼の性能を示す典型的な線図の様式を確認しておきましょう。揚抗力線図いわゆる揚抗線図です。

左図 (拡大図)は N.A.C.A. 4412 翼型の性能です。一般に CL 揚力係数、 CD 抗力係数、 L / D 揚抗比、 c.p. Center of Pressure 空力中心の四つの係数が示されます。これらの値は風洞実験で求められています。

実験においては両端には翼端渦が生じないように障壁が立てられ、下方の注記に Corrected for tunnel-wall effect とあるように風洞の壁の影響を修正して有限幅の直線翼ではありますが無限幅翼に近似されます。

風洞実験では風に飛ばされないように翼は固定されており、そのとき測定する下向き(翼から見れば上向き)の反力、前向き(同後ろ向き)の反力を無次元化した値がそれぞれ揚力係数 CL 抵抗係数 CD です。

誘導抵抗の定義を「揚力を作るに必要な抵抗である」とすると測定方法から分かるように抗力係数 CD は形状抵抗であると同時に二次元翼の誘導抵抗の一部に他ならないといえます。

二次元(無限幅)翼の誘導抵抗から三次元翼を考察してみると意外なことがわかります。

ニュートンの第二法則から求めた三次元翼の誘導抵抗を
Di = (W/g)2 / {ρV2 (Xb2) }

で示した式の空気の流量質量は二次元翼の微小幅 Δb と上下方向の高さ h であらわすことができます。
ΔDi = ( ΔW/g)2 / {ρV2 (h Δb) }

( Δ W/g)は揚力 ΔL に相当しているので
ΔDi = ΔL2 / {ρV2 (h Δb) }

これを h で整理すると
h = ( ΔL/ ΔDi){ ΔL/(ρV2 )}/ Δb

ΔL/ ΔDi = CL / CDi は揚力を発生するための真の揚抗比となります。
次に揚力の式より Δ L/(ρV2 ) = ½ CL Δ S 、翼面積 ΔS は翼弦長を c とすると Δ S = c Δb として代入すると

h / c = ½ CL2 / CDi

当たり前だが二次元翼が空気に影響を及ぼすのは翼の幅 b ではなく翼弦の長さ c に比例しています。

翼の性能のひとつである抵抗係数 CD は揚力を生成するために必要な誘導抗力 Di と圧力抗力や摩擦抗力などのその他の抗力 Dr に関係する係数の合計です。
CD = CDi + CDr

その他の抗力の抵抗係数 CDr は翼が迎え角を持っても失速直前の最大揚力係数を示すまでは周囲の空気は翼の軸に沿って流れているので揚力係数 CL = 0 のときの CD の値に近時していると考えられる。したがい
CDi = CD - CDo

h/c図 二次元翼の誘導抗力を整理すると誘導抗力係数は翼の迎え角できまり揚力係数も同時に決まります。右図(拡大図)は CDi を用いて N.A.C.A. 4412 翼型の
h / c を揚抗線図に追加したものです。

h / c は揚力発生時から最大揚力を示す迎え角の手前あたりまでに 9 から 8 に漸減しています。

それ以降 h / c が急速に減少しているのは空気の流れによる揚力より抵抗による反力で得ていると考えてよいと考えられます。

二次元翼は無限幅の矩形翼と等価なのでその一部分の幅 b の部分をとると
Di2D = ( W/g )2 / [ ρV2{ ( CL2 / CDi ) c b2D / 2 }]

ちなみにこの式に揚力の式を代入すると
Di2D = ρ CDi V2 c b2D/ 2

となりますが c b2D = S すなわち翼面積なので、
Di2D = ρ CDi V2 S / 2

「翼の性能曲線で一般的に示される抵抗係数は二次元翼の誘導抗力係数に形状抵抗係数を加えた値」である、と当たり前の結果が得られます。

・二次元翼でも地面効果は得られるか?

注目したいのは 1m の翼弦長の翼は常用域で上下に 4m 強の空気の層に影響を与えていることです。言い換えれば無限翼の翼は通常の迎え角の範囲でアスペクト比 9 乃至 8 、最大揚力の迎え角でも 6 程度の矩形翼と同じ範囲の空気に影響を与えている。

地面効果を語るとき一般に「翼長の半分の高度あたりから利き始める」とされていますが必ずしも三次元翼の誘導抵抗による必要はない。なぜなら一般に 9 を越えるアスペクト比の航空機は少なく、また先の言い回しも地面の影響を受ける絶対高度を測って表現したわけでもないようです。

同じアスペクト比であれば翼幅に見あった翼弦長がありその比率で地面効果の現れる高さも変わるからです。基本的にアスペクト比は A = b / cm であり、架空の平均翼弦長 cm は矩形翼の翼弦長そのものですから翼幅に換算して表現するのも妥当ですが本質ではないようです。

たとえばアスペクト比が20を越えるグライダーがある。そのグライダーが翼幅に見あった高い高度から地面効果が得られると言う話は聞かない。地面効果は基本的に翼弦に比例しているようです。

以上で二次元翼においても実際の翼と同じ地面効果が得られることが分かりました。先の展示の説明で用いた第二次誘導抗力で地面効果を説明するのは誤りでした。地面効果は揚力に付随する抗力(一次の誘導抗力)によって生じるとした方が正しい。


誘導抵抗の発生源が二次元翼から三次元翼に変わるとき

さて、楕円翼に生じる第二次誘導抗力の誘導方法で使われる質量流量が通る範囲の面積は誘導抵抗の式から逆算すると
面積は X = πb2 / 2 でした。この面積が翼に対してどこにあるのかとなると定かではありません。

では二次元翼の誘導抗力との関係はどうなっているのでしょう。三次元翼は二次元翼を翼幅方向に積層してできているとすると翼が影響を与えている空気は翼弦により決まるので、その概念は下図(拡大図)で示すことができます。

Wing Model 図の左側は楕円翼の平面図、右側は翼幅方向の翼弦の変化すなわち影響を受ける空気の高さの分布を示しています。ちなみに図の翼のアスペクト比は 6.5 相当です。

二次元翼の状態で三次元翼になった場合に影響を受ける空気の高さは翼弦長 c に比例しており翼の平面形に沿った形状になります。

理論解析を行なう場合二つ以上の数式で表現される直線翼よりひとつの数式で表現できる曲線翼のほうが扱いやすい。

このため誘導抗力を数式化したプラントルは楕円翼を使っています。これに合わせて検証してみましょう。

まず二次元翼が空気に与える質量流量を計算するために速度成分をかける空気の面積 X2D
x2/(b/2)2+y2/(h/2)2=1 より
X2D = π (h/2) (b/2) = (1/8) π ( CL2/CDi cr) b

この式に楕円の翼面積 S = π b c / 4 を代入すると下のようになります。言うまでもなく同じ翼幅で同じアスペクト比の翼であればこの式で代表できます。楕円翼の場合は上図の灰色部分がその面積になります。
X2D = (CL2/CDi) S / 2

X2D であらわされる面積は翼面積に比例して本来の揚力を得るために必要な空気の質量流量を示す第一次誘導抵抗の構成要因と定義できます。

三次元翼の誘導抗力の面積は第ニ次誘導抵抗の構成要因と定義されていて、楕円翼では
X = πb2 / 2 = πA S / 2
となり翼面積ばかりではなくアスペクト比にも比例しています。

この二つの面積の大小はアスペクト比が 4-6 では第一次誘導抗力の方が大きく、それを越えると第二次誘導抗力の方が大きくなります。

この第二次誘導抗力に関連する流路面積が、翼の周囲を包んでいるとすると
 1.一辺 (π/2)½ b ≈ 1.25 bの正方形
 2.直径 2½ b ≈ 1.41 b の円

部分的に存在するとすると
 3.直径 b の円が翼端に二つ。(上図を参照)

となるのですが循環流で説明される理論では翼の上で発生したX2D に生じた圧力変化によって翼の両端から後方に直径 b の円に相当する面積を牽引していることになるのでしょう。

言いかえれば翼の下にない第二次誘導抵抗の質量流量が地面効果に直接の影響を与えることはないようです。

翼の上下に発生していない質量流量を先の計算のように翼に発生している揚力の式を使って誘導抗力の計算式を誘導していいのかとの疑問はもっともですが、揚力を作ることで発生しておりこれに見合う推力が必要です。

したがい代入することに問題はなく三次元翼の誘導抗力として二次元翼相当の(第一次誘導)抗力に加えることになります。言い換えると第一次誘導抗力は翼の上で揚力として働き、第二次誘導抗力は翼の後方にあって揚力の一部として直接翼に影響を与えているのではない純粋の抗力ということです。

以上の説明を引用するとき省いてはいけないことがあります。これまで流量質量は流路面積とその流速の積と定義して計算には流速を翼の速度で代表していました。しかし実際の空気流の速度は場所のよって異なります。したがい比較的輪郭が明確な翼端渦流にしてもこのとおりの面積や寸法ではありません。

たとえば空気流の速度は翼の上面の方が速く下は遅いはずですから簡単な二次関数であらわされるような上下対象の形状にはならないことが前回の写真からもわかります。

誘導抗力を循環流や渦理論を使わずに数式化するのは難しく現行の誘導抵抗係数が実際と整合するなら「翼の先端から中央までの下側に生じた正圧部が翼の先端を支点にして半径を保ったまま上面の負圧部へ翼の後で回転している」という仮定を受け入れなければ成立させられません。これを納得する人はまずいないでしょう。

とはいえ、概念的には以上のことが翼の周りや後方に起こっていると考えていいと思います。

したがい結果としては前の展示で示した誘導抗力の導き方は誤りのようですが地面効果の説明は今回のように二次元翼の延長で説明するほうが正しいように思えます。

誘導抗力を比較的ていねいに説明している参考書には「航空力学の基礎 牧野光男 産業図書 1989」があります。

「境界層のような速度差のあるところ必ず渦が生じる。翼のきわめて狭い範囲の上下を流れる渦は翼の上では内側へ下は外側へねじれながら流れて、翼後端で上下の流れが細い後端渦(後から見た渦状)となり後方に流れて行く」、

「これを糸渦(いとうず)と呼び、翼根から翼端までの無数の糸渦が翼の後方で翼端の下面から上面に流れる翼端渦に巻き取られながら運動エネルギーを放出してゆくことで誘導抗力が発生する」となります。

では長いアスペクト比の場合においても翼根でできた糸渦がはるか後方で翼端渦にエネルギーを補給して強制渦を維持しているか、の疑問には糸渦を循環流として捉え、この循環流が翼根から翼端に移動しながら翼端渦として放出されるという考え方もあります。

これには矩形翼や後退翼はともかく前進翼についてはどうなのか、といった疑問な点もうまれます。

またラウンジで紹介した「雲の写真集 高度1万メートルから見た雲たち」のpp69の写真に見られる後端の少し後に後縁に平行して生じる雲(水蒸気の帯)のなかに本当に糸渦に相当する渦があるのかなとも思えてしまいます。

いずれにせよ翼の周りを回る線図で見せる循環流(渦)の存在は眉唾ものですが教科書には縦の渦か横の渦かもはっきりしない目に見えない糸「渦」の存在を使わずしての揚力や抗力の説明はなさそうです。


・翼端に見る人間の知恵
 登場する機体はいずれハンガーに展示を計画していますがそれまでは太字をコピーしてWebへお進み下さい

誘導抗力が循環流や糸渦を翼端から放出することで発生するにしても、翼端の圧力差で下方から上方に回り込む流れで成立しているにしても翼端の形状に影響されていることは確かです。

誘導抗力のもっとも少ない楕円翼の特徴は翼端に行くほど揚力の分布が減って行き翼端ではゼロになること。翼の性質を現すアスペクト比から導かれる平均翼弦長の位置は直線テーパー翼の平均翼弦長の位置となる片翼中央より翼端に近いことなどが挙げられます。

翼端の揚力分担を減らすにはテーパー翼のような先細にしたり、翼端に丸みをつける平面形にしたり、翼端捻り下げと呼ぶ迎え角を翼根より小さくする設計手法で得られます。

外観上の工夫を翼端に施した最初の機種はコンソリーデーテッド PBY-1 (1935) から始まる“カタリナ”シリーズの引き上げ式浮舟(フロート)あたりからと思われます。洋上での長時間の飛行に効果のありそうなフロートを支える支柱の形状抗力を避けようとしたのかも知れませんが誘導抗力の対策にも効果はあったと考えられます。

日本では川西二式大艇ニニ型 H8K3 で採用してみましたが効果なしということでニ機の製造で終わリました。性能よりも格納や展開の機構に問題があったようです。

続いて現れたのは直線翼を採用した小型のジェット戦闘機の翼端でした。これは大食いのジェットエンジンの燃料タンクの容量スペースがレシプロ機時代の機体設計では不足したためですが誘導抗力にも効果はありました。いずれも作り付けではなく脱着式の増槽として採用していました。

この手法は1940年代から50年代にかけて各国で開発された同様の機体に採用されていました。さらに中型の双発爆撃機にも及びイングリッシュ・エレクトリック キャンベラ の系統やノースアメリカンの攻撃機 AJ-2 サベージ、ジェットエンジン二基を一ユニットにして両翼につけた四発ジェット爆撃機B-45 トーネードにも採用されています。

誘導抵抗とは関係ありませんがこの時代の試行錯誤には翼端に各々52発のロケット弾を収納するポッドを付けたノースロップ F-89 スコーピオン、両翼端にラジエーターポッドを装着したノースアメリカン P-52C 改造のレーサー、同様にラムジェットを装備した P-51 や P-80 などの珍機もありました。

こうなればフランスも負けてはいませんシュド SO9050 トリダンII は胴体内に液体燃料ロケット二本、短い直線翼の両端にはジェットエンジンを各一基、それに胴体下に搭載した空対空ミサイル一発を運んでソ連の大型爆撃機を撃墜!する計画でしたが実験機の段階でロケット燃料の制御ができず空中爆発、であえなく中止。でも只では起きないのがフランス。その前に高度23.3Kmの高度記録を更新しました。

翼端のタンクにもっとも熱心だったのがロッキードP-80 シューティングスターから始まり、開発した全ての戦闘機に採用したほかにも優美な四発旅客機の L-1049 スーパー・コニーや先端にサーチライトを装備した双発のP2V ネプチューンなどの大型機などにも取り入れました。

ロッキード F-104 では翼端にミサイル(サイドワインダー)のランチャーも設定していました。武器を搭載するハード・ポイントを増やすためでもありますが、これも誘導抗力対策の効果を含めていくつかの戦闘機にも採用されていました。ステルス性には劣りますが欧州の戦闘機では今も採用されています。

変わったところでは1950年半ばのテール・シッターと呼ばれたVTOL機の試作三機種(ロッキード、ライアン、コンベア)とも翼端タンクか翼端板を付けていました。これらの機種ではアスペクト比を稼げないための苦肉の策だったのかも知れません。

1960年代半ばになると翼端増槽を採用したビジネス・ジェットが進空しベストセラーとなったゲイツ リアジェット 23 は作り付けの翼端ポッドを採用していました。

60年代後半になると双発のレシプロ機にも装着されました。なかでもセスナ 310 モデルの系統は翼端の上側に滑らかにつながるこれまでの円形断面とは異なる楕円形を使い新鮮な造形を誇示していました。

ターボプロップの三菱 MU-2 (1963) はアスペクト比 8.7 と大きいほうですが大き目の作り付けタンクを翼端下方に装備していました。地上写真をみると翼はしなっており、弾性翼にかかる胴体や翼内タンクの燃料を支える揚力による曲げモーメントに対して燃料消費に合わせて調整するバランス・ウエイトをかねているようです。

これらの翼端形状の空力的な機能は翼の上下の圧力差による流れを緩和するいわゆる翼端板効果となります。

翼端板の設計法については孫引きですが次のようにアスペクト比の増加分を計算して行なうようです。

 翼端板の高さのみで
  ΔA = A x 1.9 x h/b
  h :翼端板の高さ b :翼幅 A :アスペクト比 ΔA :アスペクト比の増加分

 翼端板の面積のみで
  ΔA = A x 1.1 x S2T/S
  S2T :両翼の翼端板二枚の面積 S :翼面積 A :アスペクト比 ΔA :アスペクト比の増加分

普通に設計すればどちらの式も近似した値になるようで、いずれか小さい値または平均値を元のアスペクト比に加えて設計を進めるようです。

日本ではサーブ サフィール91 を改造した防衛技研の研究機がありました。目的は高揚力機のロール制御でしたがさすがにこの形では実用化はされませんでした。

機体はいまも各務ヶ原の航空博物館で見られますが原型に戻されています。基本的に三つの形態で研究に使われたのですが年替わりででもそれぞれの形態展示をしてもらいたいものです。

翼端板の二例を挙げると、まずロッキード U-2があります。 アスペクト比14.3の細長い翼を持ちながらであるから特に必要はなさそうだが翼端保護のソリを固定にする軽量化を兼ねたようです。

次にボンバルディア CL-415 飛行艇で愛称はスーパー・スクーパー。 元はカナディア CL-215 (1967) をターボプロップ化した時に翼端板が追加された CL-215T がベースでアビオニクスやコクピットを中心に近代化された戦後唯一量産化に成功したアンフィビアンの発展型です。

主な任務は森林火災の消防飛行艇です。水面をかすめるように飛んで取水口を水中に入れて水をスクープして(掻き揚げて)艇内のタンクに供給して化学消化剤と混合し、火災現場上空の不安定な気流の中で間歇散布から直撃までのパターンの水の投下が可能なウォーター・ボマーとして飛ぶ場合の機動性から飛行艇としては低アスペクト比を採用しています。

この機体を低速で運用するには誘導抵抗が障害となることは明らかです。したがいこの機はこれぞ翼端板と呼べる形状と機能を採用したといえます。

なお CL-215 の翼はきわめて分厚いしかも下面が凹面という開発された時代でさえ旧世代の翼型を採用していました。設計者はダグラスで第二次大戦中から戦後にかけて主に艦載機部門で名を馳せたエドワード・ハイネマン。日本との因縁はミッドウェーの立役者となったダグラス SBD ドーントレスの設計者でもありました。

さて小型軽飛行機の老舗セスナの単発小型機の基本翼形は矩形翼です。120140型までは翼端を円形にまとめていましたが150型になると片翼中央までは矩形を使いその先にテーパー翼を組み合わせて楕円翼に近づけています。

また152型あたりから前縁の丸みを使いながら後縁まで下方にフレアをつけています。翼端板の効果を狙ったスマートな翼端の処理といえ100番台のシリーズに採用されています。

スマートといえばビジネスジェットでもジェットエンジンの燃費が改善され飛行性能が向上して後退角が増していくと翼端のタンクは不要、不釣合いとなったようでゲイツ・リアジェット ロングホーン 55 あたりからウイングレットと呼ぶ翼をそのまま直角に撥ね上げた形式が台頭し大型旅客機にもオプションで付けられるようになります。

いわく、翼端渦を高く上げると誘導抗力が減る、発生する揚力に前向きの分力がある、などなどありますがさてどうでしょう。基本的に翼端板の効果はあるけれど見た目のよさの流行に過ぎないようにも思えます。

そこで天邪鬼も現れます。エアバス A310、A320 系や A380 では翼端上下に小振りのフィンを立てています。マグダネル・ダグラス MD-11 では上下のフィンの面積を換えて小さい下方を前に置くスタガード配置を採用しています。これらはウィングチップ・フェンス(文字通り翼端板壁)と呼び分けるそうです。

エアバスは A310、A320A380 の間にはさまるA330、A340A350 の系列では一枚のウィングレットですが、外側にかなり倒したセッティングで採用しています。

ウィングレットは前方に向う揚力(推力)が出る魔法の板ではなく、基本は翼端の翼弦長を減らし翼端渦を発生させる強制渦を弱める効果をねらっていると思われます。

したがい翼の付根の構造強度や翼桁の曲げモーメント強度が得られるならば翼端を細く長くしてアスペクト比を高めて誘導抗力を減らし同時に揚力も上向きに使う設計に進むほうが賢そうです。

かくしてA330 からボーイング 787 への主翼の形の流れはなるほどな、と思えます。

この点ではグライダーの方が割り切っているとも進んでいるとも遅れているともいえます。いまのところグライダーで翼端版やウィングレットを付けた機種は少数派のようです。風が常に正面から均等に吹くわけでもなく長大な翼の先端のウィングレットで受けるヨー・モーメントの弊害もありそうです。

弊害も使いようで、翼端の回りこみの空気の流れを使った小技に、両翼端をV字になるように斜め上に面取りすることで上反角の効果を得る方法も一時期使われました。

航空機の翼端には風を受けて反った鳥の風切羽の模倣といわれようとも人間の工夫が見て取れます。しかし鳥には直角に曲がるほどの反りはありません。

人間の知恵はこれまで揚力と誘導抗力との折り合いをエンジン性能で捻じ伏せていました。その時代も過ぎ去り、燃料経済性で再考の時期にきています。この先どのような形になるのでしょうね。

第二次大戦の半ばにドイツの高高度爆撃機の侵入を警戒した英国が開発したスーパーマリン スピットフィア Mk VIVIIVIII では最も効率がよいといわれている楕円翼の先端をさらに尖らせた平面形に改設計しました。

空気の薄い高空に昇るためには翼面積を増やしアスペクト比と共に翼端近くの弦長を短くして誘導抗力を減らすという正攻法であったといえます。この時点では天才設計者 R. ミッチェルは亡くなっていましたが彼のアイデアの中にあったのかどうか知りたいものです。

この改設計も V-1V-2 の誘導弾を開発中のドイツには高空爆撃機の構想がなかったので無駄に終わりました。ちらと下から見上げると英国らしい、いささか禍々しい雰囲気もありますが翼端の形態についての方向性については先見の明があるようにも思えます。


・ しまりのない結論

当ミュージアムの「揚力のはなし」、「正、続 誘導抗力のはなし」の展示の当初の目論みは「教科書で示されるような循環流などない」、「誘導抗力は翼幅全体ではなく特定の部分で発生する」、を証明したかったのですが中途半端で終わりました。

つまるところ航空機の設計では教科書で得られる先人の理論式でなんの問題もなく、またそれ以上の疑問はだれも必要としないというのが結論です。

ただ、地面効果は二次元翼で得られること。誘導抗力は翼の上で発生するのではなく、翼端渦で発生し翼端に始まる強制渦が周囲の空気を巻き込見ながら発達するために必要なエネルギーを供給しながら粘性と慣性でできる渦を引っ張っている状態の力だと言うことが理解できました。

もう一つの結論は粘性と慣性がある限り空気の移動にも限界がありアスペクト比が大きい翼では中央は二次元翼、その両端は渦を巻き起こすポンプであって二次元翼の流れの慣性に阻まれて翼の中央までには影響しない、という仮説も否定はできないように思えます。

ここから先は渦の部分を翼端に独立させて考察をすることになります。

揚力の展示で示したようにように正逆二つの回転方向を持つ対の渦で解くのではなく渦は単独でも存在できるとして解析した仮説についてのはなしはいずれまたの展示にて計画します。

さて、ウイングレットの効能については L. Gratzer 氏の US Patent “BLENDED WINGLET” Patent Number 5,348,253 Date of Patent Sep. 20, 1994のなかで数式を使って述べられている。

要約すれば翼弦の小さい翼型を使った翼端版を付ける場合、主翼と小翼の前縁のつながり(ブレンド)と小翼の高さや面積それに取り付け(三次元)の角度を限定したもののようだ。

これにより無造作につけたウィングレットの場合に主翼とウィングレットの接合部に生じる翼端渦とウィングレットの先端に生じる翼端渦を翼弦の短いウィングレットの先端に生じる翼端渦一つにまとめることができる。ついでに幾分かの揚力も期待できる。が、さすがに推進力が得られるとは書いていないようだ

結局のところ翼端を細く長く、つまり翼弦を短くすることであり筆者の妄想の傍証でもあると我田引水で終わります。


無茶振りの空力学はお楽しみいただけましたでしょうか?



参考文献

航空力学の基礎 牧野光男 1989 産業図書
  航空力学の基本を計算式に頼らず丁寧に記述しており一般書で疑問に思ったらまずこの本を開くとよい。
流体抵抗と流線型 −流体力学的に見た乗り物の形状デザイン− 牧野光男 1991 産業図書
  飛行機に限らず飛行船、自動車、機関車、船舶を取り上げている。水上機マニアには船舶の章が貴重
ライト・フライヤー号の謎 飛行機をつくりあげた技と知恵 鈴木信二 2002 技術堂出版
  「揚力のはなし」で紹介したWetWing.com のオーナーが著者。
  ライト兄弟が動力飛行のブレークスルーを果たすまでの思索と努力を先行者や追従者がはたした物理や工学の
  歴史と理論をからめてスリリングに描いている。航空工学にかかわる人物名や理論の概要を知るには最高の入門書

以上、できれば下から順番に読むことをお奨めする。なお、翼端板の設計は下記から引用した。

軽飛行機の設計法 L.パズマニー 1973 社団法人 日本航空技術協会
  考え方によってはこの程度の知識があれば、後はアイデアと実行力で飛行機の設計はできるようだ。
  ただし自分で操縦し、迷惑のかからない広大な土地があればの話だが・・・
  やりたい方は、
軽飛行機の製作法 L.パズマニー 1974 社団法人 日本航空技術協会
  がある。作り方もこんなものかと。大型機だってこの延長で、と思うといささか不安にもなるが・・・

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